一道数学题bushi

阅读下列材料，回答问题。

定义1（椭圆曲线与点加法）
设 p 为素数，a,b 为整数且满足 。椭圆曲线 E 是所有满足方程

的点 (x,y) 与一个特殊点 O（称为无穷远点）构成的集合。在 E 上定义加法运算 ：

• O 为单位元，即对任意 ，有 ；
• 对 ，其逆元 ；
• 设 且 。若 ，令 ；若 且 ，令 。则 ，其中
  
  定义标量乘法：。

定义2（椭圆曲线密钥交换）
双方公开参数 及基点 。Alice 选取私钥 ，计算公钥 ；Bob 选取私钥 ，计算公钥 。交换公钥后，双方计算共享密钥点 ，并取其 坐标 作为后续对称密钥种子。

定义3（矩阵分组密码）
设 为素数，明文空间为 中的列向量。取对称密钥 ，定义加密矩阵

对明文向量 ，密文 。解密时，若行列式 ，则

其中 为 模 的乘法逆元。解密计算 。

定义4（信息熵与完善保密性）
设离散随机变量 的分布为 ，定义其熵为

条件熵定义为 ，其中 是在条件 下 的熵。若对于明文随机变量 和密文随机变量 满足 ，则称该加密系统具有完善保密性。

结合以上定义，解答下列问题：

（1）取 ，椭圆曲线 ，基点 。
(i) 验证 在曲线 上；
(ii) 若 Alice 选取私钥 ，Bob 选取私钥 ，求 Alice 的公钥 、Bob 的公钥 ，以及双方分别计算出的共享密钥点 的坐标，并提取 。

（2）在矩阵分组密码中，取 ，对称密钥 为上述共享密钥的 坐标模 。已知明文向量 。
(i) 求密文 ；
(ii) 写出解密矩阵 ，并验证 可从 解密还原。

（3）假设攻击者截获密文，并知悉系统参数。从攻击者视角，密钥 等可能取 或 ；明文 等可能取自集合

且 与 相互独立。
(i) 求明文熵 及密文熵 ；
(ii) 求条件熵 ，并判断该系统是否具有完善保密性；若不具备，请说明其安全风险。